ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ
Розв’язування нелінійних рівнянь
методичні вказівки до лабораторної роботи № 4
для студентів напряму 6.050101 „Комп’ютерні науки”
Методичні вказівки обговорені та схвалені на засіданні Науково-методичної ради інституту комп’ютерних наук та інформаційних технологій Національного університету «Львівська політехніка». Протокол № ____ від _______________2017
Укладачі: Висоцька В.А., к.т.н., доцент кафедри ІСМ
Методичні вказівки до лабораторних робіт з дисципліни «Чисельні методи» для студентів напряму 6.050101 „Комп’ютерні науки” /Укл.: В.А.Висоцька.
Лабораторна робота № 4
на тему " Розв’язування нелінійних рівнянь "
Мета роботи: вивчити основні поняття нелінійних рівнянь та методів їх розв’язку.
Короткі теоретичні відомості
Розв’язування багатьох інженерних задач зводиться до знаходження коренів одного нелінійного рівняння або до розв’язування систем нелінійних рівнянь. В обох випадках нелінійні рівняння, що утворюються, можна поділити на два типи – алгебраїчні та трансцендентні. Алгебраїчними називають рівняння, що містять лише алгебраїчні функції (цілі, раціональні, ірраціональні). Нелінійні рівняння, що містять тригонометричні, логарифмічні, показникові, степеневі чи інші спеціальні функції, називають трансцендентними.
Розглянемо задачу знаходження коренів рівняння f(x)=0, де f(x) - задана функція дійсної змінної. Розв’язування цієї задачі можна розкласти на декілька етапів:
а) дослідження розташування коренів (у загальному випадку - на комплексній площині) та їх кратність;
б) відокремлення коренів, тобто виділення областей, що містять тільки один корінь;
в) обчислення кореня з заданою точністю за допомогою одного з ітераційних алгоритмів.
Далі розглядаються ітераційні процеси, що дають можливість побудувати числову послідовність xn, яка збігається до шуканого кореня рівняння f(x)=0.
4.1. Загальна постановка задачі
Розглянемо задачу знаходження коренів рівняння. Нелінійне рівняння можна подати у таких формах запису;
Функції, що входять до (4.1), (4.2), визначені та неперервні на множині X, що називається областю визначення рівняння. Сукупність значень змінної х, при яких рівняння (4.1) чи (4.2) перетворюється на тотожність, називають розв’язком цього рівняння, а кожне значення х із цієї сукупності – коренем рівняння.
Корені можуть бути дійсними або комплексними. Крім того, деякі з них можуть бути кратними, тобто кілька коренів можуть збігатися. Якщо функції f(х), j(х), g(x), що входять до рівнянь (4.1) і (4.2), трансцендентні, то ці рівняння можуть не мати коренів, мати скінченну кількість їх або нескінченну множину.
У багатьох задачах, як правило, розв’язують алгебраїчні або трансцендентні рівняння зі скінченною кількістю дійсних коренів, тому далі будемо розглядати тільки такі нелінійні рівняння.
Серед алгебраїчних рівнянь особливе місце належить рівнянням, що містять поліноми виду . Ці рівняння записують так:
Порівняно з трансцендентними алгебраїчні нелінійні рівняння мають ту перевагу, що наперед відома точна кількість їх коренів, а отже, відомо, коли слід закінчити пошук при дослідженні алгебраїчного нелінійного рівняння.
1. Алгебраїчне рівняння n-го порядку має п коренів, які можуть бути дійсними або комплексними.
2. Кількість додатних дійсних коренів дорівнює (або менша на ціле число) кількості змін знаків у послідовності коефіцієнтів аі.
3. Кількість від’ємних дійсних коренів дорівнює (або менша на ціле число) числу змін знаків у послідовності коефіцієнтів аі при заміні х на – х.
Сукупність кількох рівнянь з кількома невідомими називають системою рівнянь. Систему п рівнянь з п невідомими можна зобразити у вигляді
Розв’язком системи нелінійних рівнянь називають сукупність значень невідомих, яка перетворює кожне з рівнянь на тотожність. Наприклад, система
має розв’язок х1=1, х2=2, оскільки при цих значеннях невідомих рівняння системи перетворюються на тотожності.
Методи розв’язування нелінійних рівнянь поділяють на прямі та ітераційні. Прямі дають змогу отримати розв’язок безпосередньо за допомогою формул і тому забезпечують точні значення коренів. Як приклад можна навести формули для визначення коренів квадратного та кубічного рівнянь. Існує також спосіб обчислення коренів алгебраїчного рівняння четвертого порядку (n = 4), проте він настільки складний, що практично його не застосовують.
Для трансцендентних рівнянь та систем нелінійних рівнянь прямих методів обчислення коренів не існує. Тому на практиці найчастіше застосовують наближені методи розв’язування цих рівнянь, які дають змогу за допомогою скінченного набору арифметичних операцій обчислити корені будь-якого нелінійного рівняння чи системи нелінійних рівнянь з достатньою точністю. Особливо ефективні наближені методи при реалізації на ПК, оскільки використовувані для цього алгоритми є простими, зручними, легко програмуються.
Наближеним значенням кореня х нелінійного рівняння з точністю до е вважають будь-яке число між а і b, при якому виконується умова . Числа а і b – це наближені значення кореня х відповідно з недостачею і з надлишком з точністю . Наприклад, якщо корінь лежить між числами 1,133 і 1,134, то за наближене значення кореня з точністю до 0,001 можна взяти будь-яке число у межах між цими числами, наприклад число 1,1335.
Універсальні алгоритми обчислення коренів нелінійних рівнянь ґрунтуються на тому, що виходять з будь-якого вже відомого наближеного значення х(0) одного з коренів, якщо розв’язується одне рівняння, або значень х1(0), х2(0),…,хn(0), якщо розв’язується система рівнянь (п – порядок системи). Ці значення далі уточнюються до заданого ступеня точності. При цьому несуттєво, як знайдено початкове значення обчислюваного кореня (коренів). Часто початкове наближення отримують за допомогою грубого попереднього підрахунку, графіка або аналізу фізичної суті задачі. Алгоритм наближеного обчислення коренів нелінійного рівняння складається з двох етапів:
1. Знаходження достатньо малих відрізків (інтервалів), у кожному з яких міститься один і тільки один корінь. Цей етап називають відокремленням коренів (або визначенням відрізків ізоляції кореня).
2. Обчислення кореня з наперед заданою точністю е, якщо відоме його деяке початкове наближення в інтервалі, що не містить інших коренів. Цей етап називають уточненням наближених значень коренів.
Відокремити корені можна кількома способами – графічним, аналітичним або методом послідовного перебирання. Останній метод зручний при використанні ПК.
(Для ознайомлення з повним текстом статті необхідно залогінитись)